好久没做题了……一下子想不起来，只好google了。留个备份，以免以后再忘记=.=
约瑟夫问题的数学方法
[ 2006-5-5 14:26:00 | By: lower ]
看到这个想起了去年的省赛上，我们就是被一个约瑟夫问题的变种搞的几乎发狂了，一直是WA，出了赛场才发现并不是真正的约瑟夫问题。
对于约瑟夫问题，今天看到了一篇好帖子，是用数学方法处理的，感觉还不错的
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：
1
2
3
4
5
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7
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| #include <stdio.h>
main()
{
int n, m, i, s=0;
printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
printf ("The winner is %d\n", s+1);
} |
这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。
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另外要说明的是，这个方法只能在o（n）的方法内求出第任意某个出去的人的位置。如果要求出整个出去序列，用这个方法还是o（n^2）的。。求所以出去序列，用线段数可以做到o（nlog(n))..ms没有比这个快的了。。
今天某人提醒了我一句“你poj被提出第一版了。。”……
时间过得还真快呀，不知不觉就出第一版了……
还记得第一次进第一版时，Hawk老大说：
我会回来的……
登录过程采用SRP协议，具体版本细节不清楚，反正不是最新版。
相关记号：
H ---- 单向Hash函数，WoW中用的是Sha1，Sha1生成的结果定长20字节
N ---- 大素数，32字节
g ---- N%(一个N的质因子)，1字节
C ---- 明文用户名
P ---- 明文密码
CP ---- C + ":" + P，+表示字符串连接
s ---- 随机数
x ---- 临时变量，x = H(s, H(CP))
v ---- v = g ^ x
a ---- 随机数，保存在客户端，不公开
b ---- 随机数，保存在服务器，不公开
A ---- A = g ^ a
B ---- B = 3 * v + g ^ b
u ---- u = H(A, B)
S ---- 客户端：S = (B - 3 * g ^ x) ^ (a + u * x)，服务器：S = (A * v ^ u) ^ b，都为32字节
Key ---- 40字节，偶数字节为H(S的偶数字节)，奇数字节为H(S的奇数字节)，Key将用于以后的通讯加密
M1 ---- M1 = H( H(N) xor H(g), H(C), s, A, B, Key )
M2 ---- M2 = H( A, M1, Key)
^ ---- 幂运算
xor ---- 异或运算
% ---- 模运算
所有运算结果都%N
登录过程（只包含正常的流程，错误检测忽略）：
0、服务器预先保存着N和g。
1、客户端向服务器发送C。
2、服务器根据C查找P。生成s、v、b、B，将B、g、N、s发送给客户端。
3、客户端生成a、x、v、A、u、S、M1、M2，将A、M1发送给服务器。
4、服务器生成S、Key、M1、M2，将M2发送给客户端。
5、如果两边的M1和M2都一致，则登录成功。
