好久没做题了……一下子想不起来，只好google了。留个备份，以免以后再忘记=.=
约瑟夫问题的数学方法
[ 2006-5-5 14:26:00 | By: lower ]
看到这个想起了去年的省赛上，我们就是被一个约瑟夫问题的变种搞的几乎发狂了，一直是WA，出了赛场才发现并不是真正的约瑟夫问题。
对于约瑟夫问题，今天看到了一篇好帖子，是用数学方法处理的，感觉还不错的
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k –> 0
k+1 –> 1
k+2 –> 2
…
…
k-2 –> n-2
k-1 –> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x’=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 —- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 | #include <stdio.h> main() { int n, m, i, s=0; printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m); for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i; printf ("The winner is %d\n", s+1); } |
这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。
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另外要说明的是，这个方法只能在o（n）的方法内求出第任意某个出去的人的位置。如果要求出整个出去序列，用这个方法还是o（n^2）的。。求所以出去序列，用线段数可以做到o（nlog(n))..ms没有比这个快的了。。
